به ریاضی نیاز داریم

دکتر محمود طالبیان

استاد ریاضی دانشگاه حکیم سبزواری

با بعضی از اعضای خانه ی ریاضیات نیشابور و با هماهنگی قبلی به دفتر هفته نامه خیام نامه مشرف شدیم و پس ازصحبتی و مشورتی صمیمانه با تهیه کنندگان و پدید آورندگان این هفته نامه که به نام «خیام» مزین شده است پیشنهاد کردیم ستونی از نشریه را به خانه ریاضیات نیشابور اختصاص دهند تا از این طریق ارتباطی  بین خانه ریاضیات و مردم برقرار شود تا بلکه ریاضیات همگانی گردد!

با قبول این پیشنهاد، ما هم نگارش را با این نیت آغاز کردیم که شاید روزی برسد که ریاضیات از خانه ی ریاضیات به خانه ی مردم منتقل شود و اهالی خانه از آن استقبال کنند!

ریاضیات و نقش آن در ایجاد

تحولات فکری

سوال مکرری که عموما در ذهن دانش آموزان دوره متوسطه شکل می گیرد این است که فایده ی تحصیل ریاضیات چیست؟

تجربه نشان داده است که محصلینی که این سوال را مطرح می کنند عمدتا پاسخ قانع کننده ای از طرف مقابل دریافت نمی کنند.

چرا ما نمی توانیم اینان را قانع کنیم که تحصیل ریاضیات بسیار مفید است، ریاضیات بسیار زیبا است؛ مادر علوم است!  در واقع، پاسخ گویی به پرسش مذکور به مخاطبی که یک محصل دبیرستانی است بسیار دشوار است، به دو دلیل:

اول این که محصلین در این دوره از تحصیل فقط با مفاهیم اولیه ریاضی آشنا می شوند و هنوز به مرحله ای از دانش ریاضب نرسیده اند که خود جواب سوال خویش را بیابند.

نکته ظریف بحث ما همین است. سوال کننده هنوز با مفاهیم عمیق و ایده های سازنده ی ریاضیات روبه رو نشده است که کاربرد آنها را عینا ببیند و یا احتمالا زیبایی آنها را درک کند تا تمایل به تحصیل ریاضیات در او افزایش یابد و همین ضعف است که پاسخگویی به سوال بالا را مشکل و مسئولیت پاسخ دهنده را دو چندان می کند. در حقیقت، ضعف بنیه علمی سوال کننده را باید با قوت علمی و مهارت خود در استفاده از ابزار قوی ریاضی جبران کنیم.

بنابراین، حق با دانش آموز است، او نمی خواهد علمی بیاموزد که از وجود دستاوردهای مفیدش اطمینان ندارد یا زیبایی هایش رابه خوبی درک نکرده است. این ماییم که باید به چنان مهارتی از دانش و آموزش ریاضی رسیده با شیم که جواب قانع کننده ای برای وی بیابیم.

از این رو، دلیل دوم دشواری پاسخگویی به سوال فوق الذکر، در واقع، شایدضعف ما در نحوه انتقال مفاهیم و به کارگیری روش های سازنده درتعلیم ریاضی است.

در تاریخ ریاضیات به وقایع زیادی برخورد می کنیم که در هر یک از آنها مسئله ای یا معمایی مطرح شده است که تلاش برای حل یا شیوه ی تعیین جواب ش به تعریف مفهوم جدیدی در ریاضیات یا بسط شاخه ای نودر آن انجامیده و تحول ارزشمندی در زمینه ی تعلیم و تعلم ریاضی ایجاد و زیبایی های ریاضیات را بر همه آشکار نموده است.

به مثال های زیر توجه کنید:

۱-در اواخر قرن هیجدهم میلادی، آموزگار درس ریاضی مدرسه ای در آلمان از دانش آموزان خود خواست که حاصل جمع اعداد از یک تا صد رابیابند . او قصد داشت که کلاس درس را به مدت پانزده دقیقه ترک کند و گمانش این بود که طرح مسئله مذکور آنها را به قدر کافی به خود مشغول خواهد کرد و سکوت بر کلاس درس حاکم خواهد شد.

ولی کارل فردریش گاوس(۱) (۱۷۷۷-۱۸۵۵)، دانش آموز نابغه آلمانی که در کلاس حضور داشت قبل از خروج معلم از کلاس دست خود را بالا برد و اعلام کرد که مجموع مطلوب را یافته است!

راه حل او چنین بود:

اعداد مفروض را در دو ردیف به شکل زیر می نویسیم :

۱، ۲، ۳، …،۵۰، ۵۱، …، ۹۹ ، ۱۰۰

۱۰۰ ،  ۹۹ ، ۹۸ ، … ،۵۱ ، ۵۰، … ،۲ ،۱

ملاحظه می کنیم که مجموع اعداد واقع در هر ستون برابر ۱۰۱ است. پس اگر حاصل جمع مطلوب را s بنامیم آن گاه  و فورا در می یابیم که:

S=1/2 (100*101)= 50*101=5050

این راه حل که از تقارن اعداد موجود در جدول بالا ناشی می شود بعدا الهام بخش اثبات بسیاری از احکام ریاضی و تعریف مفاهیم جدید ریاضی شد.

۲-مسئله کوتاهترین زمان

دو نقطه ی A وB از میدان گرانشی زمین را در نظر بگیرید و فرض کنید که گلوله کوچکی که فقط تحت تاثیر نیروی جاذبه است مقید باشد که از نقطه ی A  واقع در منحنی  C ماربر A و B  بغلتد تا به نقطه Bبرسد . مطابق شکل زیر، منحنی Cچگونه باشد تا گلوله مفروض در کوتاه ترین زمان ممکن از AبهBبرسد؟

نمودار :

این مسئله را- که به مسئله کوتاهترین زمان مشهور شده است- یوهان برنولی در سال ۱۶۹۶ میلادی به عنوان یک چالش مطرح نمود و ریاضی دانان آن زمان را برای حل این مسئله به مبارزه طلبید .یوهان برنولی به ریاضی دانان معاصر خود هشدار داده بود که جواب مسئله کوتاهترین زمان یک خط راست نیست ! بلکه یک منحنی است !و سرانجام این یوهان برنولی بود که به حل مسئله نایل آمد.

جواب مسئله کوتاه ترین زمان،یک منحنی است که ، به دلایلی ذیلا ملاحظه میکنید،آن را منحنی کوتاه ترین زمان یا منحنی چرخزاد نامیده اند.

طوقی مانند طوق یک دوچرخه در نظر بگیرید و نقطه ثابتی بر آن اختیار کنید،اگرطوق را در امتداد قائم بر روی یک صفحه افقی بغلتانید ،نقطه ثابت مفروض یک منحنی در صفحه قائم ایجاد می کند که همان منحنی چرخزاد و منحنی کوتاه ترین زمان است .

دلیل اهمیت مسئله کوتاه ترین زمان برنولی این است که این مسئله منشاء پیدایش شاخه جدیدی در علوم ریاضی به نام حساب تغییرات شد.

منحنی چرخزاد ویژگی های جالب توجه عدیده ای دارد که یکی از آن ها خاصیت همزمانی  است؛بدین معنی که اگر گلوله کوچکی از یک نقطه این منحنی به پایین بغلتد  (منحنی چرخزاد را، مطابق شکل زیر،وارونه در نظر بگیرید) مدت زمانی که در آن گلوله به پایین ترین نقطه ی چرخزاد برسد به موضع آغاز حرکت بستگی ندارد.

۳-هندسه های اقلیدسی و نا اقلیدسی

هندسه اقلیدسی بر پنج اصل استواراست .اصل پنجم که آن را «اصل توازی »نیز نامیده اند به قرار زیر است:

از یک خط واقع در یک صفحه – مثلا صفحه کاغذ – و نقطه مفروضی واقع در خارج خط مذکور،یک و فقط یک خط می توان به موازات خط مفروض رسم نمود.

تاریخ ریاضیات نشان می دهد که بسیاری کوشیدند که اصل پنجم را از چهار اصل دیگر نتیجه بگیرند ولی موفق نشدند . سرانجام به این نتیجه رسیدند که اصل پنجم مستقل از سایر اصول است، یعنی ، می توانیم ان را بپذیریم یا آن را دگرگون کنیم .

اگر آن را بپذیریم هندسه حاصل همان هندسه ی اقلیدسی است، واگر آن را دگرگون کنیم، یک هندسه ی نااقلیدسی خواهیم داشت.

حال، می پرسیم که چگونه می توان اصل توازی را دگرگون کرد؟ ملاحظه کنید که احکام زیراز اصل پنجم نتیجه می شوند:

الف-از یک خط واقع در یک صفحه و یک نقطه واقع در خارج خط مفروض، یک و فقط یک عمود می توان بر خط مفروض رسم نمود

ب-مجموع زوایای هر مثلث برابر ۱۸۰درجه است .

آشکار است که مادام که فضای مورد بحث ، صفحه میز یا صفحه کاغذ باشد، اصل توازی و احکام الف و ب خدشه ناپذیرند.

اکنون کره زمین را مانند یک توپ در نظر بگیرید و نیمی از آن را که برای ما قابل رویت است مجسم کنید. در این صورت، خطوطی را مشاهده می کنید که از قطب شمال سرچشمه می گیرند و به قطب جنوب منتهی می شوند و همگی بر خط استوا عمودند!

و مثلثهایی در نیمکره ی شمالی تشکیل می دهند که که جموع زوایای داخلی آن ها بیشتر از ۱۸۰ درجه است ، بلافاصله نتیجه می گیریم که اگر فضای مورد بحث را عوض کنیم همه چیز دگرگون می شود، از جمله اصل پنجم.

اولین کسی که دریافت که با تغییر فضای مورد بحث اصول مفروض نیز دگرگون می شوند لوباچفسکی – ریاضی دان روسی(۱۷۹۲-۱۸۵۶) بود. پس از این واقعه دانشمندان ریاضی دریافتند که فضاهای گوناگونی با مفروضات متفاوت می توان ایجاد کرد. به علاوه،کشف هندسه های نااقلیدسی، مبنایی برای بیان فرضیه آلبرت اینشتاین گردید.

 ۴-فضاهای توپولوژیکی

چنان که دیدیم، هندسه های نااقلیدسی ازتغییر در اصل توازی اقلیدس پدیدار می شوند.

بعدا، ریاضیدانان متوجه شدند که اگر مفهوم فاصله به معنی معمولی –که آن را فاصله ی اقلیدسی نامیده اند– را هم تغییر دهیم فضاهای گوناگونی با ویژگی های متفاوت تشکیل می شود که بحث جداگانه ای دارد.

خلاصه آن که ریاضیات، هم زیباست هم کا رآمد. باید آن را بیاموزی تا زیبایی هایش را درک کنی! در آن هنگام است که می توانی صحنه های زیبای دیگری را نیز بیافرینی!

اینک معمایی مطرح می کنیم که مثالی از بحث ما محسوب می شود و حل آن بسیار ساده است.

معما: چگونه می توانیم با شش عدد چوب کبریت به طور همزمان چهار مثلث متساوی الاضلاع بسازیم؟

پاسخ خود را از طریق شماره ۰۹۳۸۹۱۵۳۳۱۳به تلگرام خیام نامه ارسال کنید

به اشتراک بگذارید:


دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

این سایت از اکیسمت برای کاهش هرزنامه استفاده می کند. بیاموزید که چگونه اطلاعات دیدگاه های شما پردازش می‌شوند.